Олимпиадные задачи из источника «9-10 класс» для 7-9 класса - сложность 2-4 с решениями

Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.

На полосе бумаги написаны подряд 60 знаков: "×" и "0". Эту полоску разрезают на куски с симметричным расположением знаков. Например:

0,  × ×,  0 × × × × 0,  × 0 ×,  ... .

  а) Докажите, что существует такой способ разрезания, при котором кусков не больше 24.

  б) Приведите пример такого расположения знаков, при котором меньше 15 кусков получить нельзя.