Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 10 класса - сложность 1-4 с решениями

а) Есть  2<i>n</i> + 1  батарейка  (<i>n</i> > 2).  Известно, что хороших среди них на одну больше, чем плохих, но какие именно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. В фонарик вставляются две батарейки, при этом он светит, только если обе они хорошие. За какое наименьшее число таких попыток можно гарантированно добиться, чтобы фонарик светил? б) Та же задача, но батареек 2<i>n</i>  (<i>n</i> > 2),  причём хороших и плохих поровну.

Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения?

Пусть <i>p</i> – простое число, большее 10^<i>k</i>. Взяли число, кратное <i>p</i>, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами <i>k</i>-значное число <i>A</i>. Получили число, кратное <i>p</i>. В него вставили <i>k</i>-значное число <i>B</i> – между двумя соседними цифрами числа <i>A</i>, – и результат снова оказался кратным <i>p</i>. Докажите, что число <i>B</i> получается из числа <i>A</i> перестановкой цифр.

Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырёхугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65727/problem_65727_img_2.gif">

Существуют ли такие целые числа<i>a</i>и<i>b</i>, что   а) уравнение  <i>x</i>² +<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] +<i>ax + b</i>= 0 имеет?   б) уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] + 2<i>ax + b</i>= 0  имеет?