Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс»

На шахматной доске стоят восемь не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по-прежнему не будут бить друг друга. (Все восемь ладей передвигаются "одновременно", то есть если, например, две ладьи бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)

На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> отметили соответственно точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что  <i>AK = CL</i>  и  ∠<i>ALK</i> + ∠<i>LKB</i> = 60°.

Докажите, что  <i>KL = BC</i>.

Наибольший общий делитель натуральных чисел <i>a, b</i> будем обозначать  (<i>a, b</i>).  Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что

(<i>n, n</i> + 1) < (<i>n, n</i> + 2) < ... < (<i>n, n</i> + 35).  Докажите, что  (<i>n, n</i> + 35) < (<i>n, n</i> + 36).

Найдётся ли такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число?

В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. Более сильный всегда побеждает более слабого. Борцы разбились на пары и провели поединки. Затем разбились на пары по-другому и снова провели поединки. Призы получили те, кто выиграл оба поединка. Каково наименьшее возможное количество призёров?