Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 4-11 класса - сложность 1-2 с решениями

На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> ромба <i>ABCD</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что  <i>BP = CQ</i>.

Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>APQ</i> лежит на диагонали <i>BD</i> ромба.

У Миши есть 1000 одинаковых кубиков, у каждого из которых одна пара противоположных граней белая, вторая – синяя, третья – красная. Он собрал из них большой куб 10×10×10, прикладывая кубики друг к другу одноцветными гранями. Докажите, что у большого куба есть одноцветная грань.

В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.