Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс»

В ромбе <i>ABCD</i>  ∠<i>А</i> = 120°.  На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  ∠<i>NAM</i> = 30°.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>NAM</i> лежит на диагонали ромба.

Натуральное число увеличили на 10% и снова получили натуральное число. Могла ли при этом сумма цифр уменьшиться ровно на 10%?

Володя хочет сделать набор кубиков одного размера и написать на каждой грани каждого кубика по одной цифре так, чтобы можно было из этих кубиков выложить любое 30-значное число. Какого наименьшего количества кубиков ему для этого хватит? (Цифры 6 и 9 при переворачивании не превращаются друг в друга.)

Пусть <i>a^b</i> обозначает число <i>a^b</i>. В выражении  7^7^7^7^7^7^7  надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок).

Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?

В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины.

Докажите, что прямая пересекает чётное число диагоналей.