Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс» для 5-8 класса - сложность 3 с решениями

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку <i>X</i>. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему <i>X</i> с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

Для каждого натурального числа <i>n</i> обозначим через <i>O</i>(<i>n</i>) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа

<i>х</i>₁ = <i>а</i>  и  <i>х</i>₂ = <i>b</i>.  Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу:  <i>x_n = O</i>(<i>х</i>_<i>n</i>–1 + <i>х</i>_<i>n</i>–2),  где  <i>n</i> = 3, 4, ... .

  а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.

  б) Как найти это число, зная числа <i>a</i>...