Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 8 класса - сложность 2-4 с решениями

В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны <i>N</i> было предложено шесть задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все шесть задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны <i>N</i>, принявших участие в весеннем туре?

На правой чаше чашечных весов лежит груз массой 11111 г. Весовщик последовательно раскладывает по чашам гири, первая из которых имеет массу 1 г, а каждая последующая вдвое тяжелее предыдущей. В какой-то момент весы оказались в равновесии. На какую чашу поставлена гиря 16 г?

Рассматривается доска 8×8, клетки которой пока не окрашены. Сколькими способами можно раскрасить доску в чёрный и белый цвета так, чтобы чёрных клеток было 31 и никакие две чёрные клетки не имели общей стороны? (Два способа раскраски считаются различными, если найдётся клетка, которая при одном из этих способах раскраски белая, а при другом – чёрная.)

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  <i>a + b + c + d</i>.

Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Между двумя параллельными прямыми расположили окружность радиуса 1, касающуюся обеих прямых, и равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной из прямых, а вершина – на другой. Известно, что треугольник и окружность имеют ровно одну общую точку и что эта точка лежит на вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.

Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i>, в каждой её клетке записано число, причём все числа различны. В каждой строке отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных столбцах. Затем в каждом столбце отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных строках. Докажите, что оба раза отметили одни и те же числа. <h3>Решение</h3>Наименьшее число во всей таблице, очевидно, было отмечено оба раза. По условию ни одно из чисел, стоящих с ним в одной строке (одном столбце), не было отмечено ни разу. Поэтому оба раза было также отмечено наименьшее число в таблице, полученной из данной вычеркиванием этих строки и столбца. И так далее. <h3>Замечания</h3> 3 балла <h3>Источники и прецеденты использования</h3> &lt...