Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» - сложность 3-5 с решениями

Докажите, что у выпуклого 10<i>n</i>-гранника найдётся <i>n</i> граней с одинаковым числом сторон.

На большой шахматной доске отметили 2<i>n</i> клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные.

Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на <i>n</i> прямоугольников.

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.

Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится. б) Рассмотрим такие <i>n</i>, что набор гирь 1, 2, ... , <i>n</i> г можно разделить на две части, равные по весу.

Верно ли, что для любого такого <i>n</i>, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.