Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

На большой шахматной доске отметили 2<i>n</i> клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные.

Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на <i>n</i> прямоугольников.

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.

Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится. б) Рассмотрим такие <i>n</i>, что набор гирь 1, 2, ... , <i>n</i> г можно разделить на две части, равные по весу.

Верно ли, что для любого такого <i>n</i>, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?