Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 4-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> внешним образом построен квадрат с центром <i>O</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i>   середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> соответственно, а длины этих сторон равны соответственно <i>a</i> и <i>b</i>. Найти максимум суммы  <i>OM + ON</i>,  когда угол <i>ACB</i> меняется.

Существует ли кусочно-линейная функция <i>f</i>, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))= – <i>x</i>  при всех <i>x</i>?

(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

На доску последовательно записываются натуральные числа. На <i>n</i>-м шаге (когда написаны числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_<i>n</i>–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  <i>a</i>₁<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>k</i>₂ + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>k</i>_<i>n</i>–1,  где <i>k_i</i> – целые неотрицательные числа (на <i>a</i>₁ никаких огран...

Несколько человек делят наследство. Наследник считается бедным, если ему досталось меньше 99 рублей, богатым, – если ему досталось больше 10000 рублей. Величина наследства и число людей таковы, что при любом способе дележа у богатых окажется не меньше денег, чем у бедных. Докажите, что при любом способе дележа у богатых не меньше чем в 100 раз больше денег, чем у бедных.