Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>D</i>, отличная от <i>B</i>, причём  <i>AD</i> : <i>DC = AB</i> : <i>BC</i>.  Докажите, что угол <i>C</i> тупой.

Внутри угла расположены две окружности с центрами <i>A</i> и <i>B</i>. Они касаются друг друга и двух сторон угла.

Докажите, что окружность с диаметром <i>AB</i> касается сторон угла.

По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел

равна 1. Найти эти числа.

В лес за грибами пошли 11 девочек и <i>n</i> мальчиков. Вместе они собрали  <i>n</i>² + 9<i>n</i> – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.

Кого было больше: мальчиков или девочек?