Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 9-10 класс» для 9-10 класса - сложность 3-5 с решениями

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>M</i>, что  ∠<i>BMC</i> = 90° + ½ ∠<i>BAC</i>  и прямая <i>AM</i> содержит центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>BMC</i>. Докажите, что точка <i>M</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.

Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника <i>A, B, C</i>, которые можно поместить друг в друга (так что  <i>A</i> ⊂ <i>B</i> ⊂ <i>C</i>).

На плоскости дано <i>N</i> прямых  (<i>N</i> > 1),  никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие <i>N</i>, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.

В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?