Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$. Прямые $AB$ и $A'B'$ пересекаются в точке $C_1$, а параллельные им прямые, проходящие через $C$ и $C'$, соответственно, в точке $C_2$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $1$. Найдите наибольшее возможное значение величины $\frac1{AC^2}+\frac1{BD^2}$.

В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.

В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.

На плоскости дано конечное множество $S$ точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множество<i>разделимым</i>, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из $S$ образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество $S$ разделимо?

Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.

В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.

Высоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой.