Олимпиадные задачи из источника «III Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2007 г.)» для 11 класса - сложность 5 с решениями
III Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2007 г.)
НазадДаны две концентрические окружности. Каждая из окружностей<i> b<sub>1</sub> </i>и<i> b<sub>2</sub> </i>касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей<i> c<sub>1</sub> </i>и<i> c<sub>2</sub> </i>касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите, что8точек, в которых окружности<i> b<sub>1</sub> </i>,<i> b<sub>2</sub> </i>пересекают<i> c<sub>1</sub> </i>,<i> c<sub>2</sub> </i>, лежат на двух окружностях, отличных от<i> b<sub>1</sub> </i>,<i> b<sub>2</sub> </i>,<i> c<sub>1</sub> </i>,<...
Четырехугольник<i> ABCD </i>вписан в окружность с центром<i> O </i>. Точки<i> C' </i>,<i> D' </i>симметричны ортоцентрам треугольников<i> ABD </i>и<i> ABC </i>относительно<i> O </i>. Докажите, что если прямые<i> BD </i>и<i> BD' </i>симметричны относительно биссектрисы угла<i> B </i>, то прямые<i> AC </i>и<i> AC' </i>симметричны относительно биссектрисы угла<i> A </i>.