Олимпиадные задачи из источника «2018 год» для 2-9 класса - сложность 4 с решениями

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $A_1BC_1$, проходит через точку $M$ пересечения медиан. Найдите все возможные значения величины угла $B$.

На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ правильный. Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.

Докажите, что количество способов разрезать квадрат $999 \times 999$ на уголки из трёх клеток делится на $2^7$.

На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то из них. Докажите, что можно рассадить всех участников олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".

Назовем расстановку <i>n</i> единиц и <i>m</i> нулей по кругу <i>хорошей</i>, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных <i>n</i>, <i>m</i> существует <i>хорошая</i> расстановка?

На сторонах выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCD</i>₁, <i>CDE</i>₁, <i>DEF</i>₁, <i>EFA</i>₁ и <i>FAB</i>₁. Оказалось, что треугольник <i>B</i>₁<i>D</i>₁<i>F</i>₁ – равносторонний. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>E</i>₁ также равносторонний.