Олимпиадные задачи из источника «2014 год» для 3-11 класса - сложность 4 с решениями
Поверхность выпуклого многогранника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> состоит из восьми треугольных граней <i>A<sub>i</sub>B<sub>j</sub>C<sub>k</sub></i>, где <i>i, j, k</i> меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке <i>O</i> касается всех этих граней. Докажите, что точка <i>O</i> и середины трёх отрезков <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub&g...
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается <i>n</i> единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из <i>n</i> единиц и двоек.