Олимпиадные задачи из источника «2014 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Дан треугольник <i>ABC</i>. Обозначим через <i>M</i> середину стороны <i>AC</i>, а через <i>P</i> – середину отрезка <i>CM</i>. Описанная окружность треугольника <i>ABP</i> пересекает сторону <i>BC</i> во внутренней точке <i>Q</i>. Докажите, что  ∠<i>ABM</i> = ∠<i>MQP</i>.

Найдите все значения <i>a</i>, для которых найдутся такие <i>x, y</i> и <i>z</i>, что числа cos <i>x</i>, cos <i>y</i> и cos <i>z</i> попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа  cos(<i>x + a</i>),  cos(<i>y + a</i>)  и  cos(<i>z + a</i>)  также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> принимает в точках ¹/_<i>a</i> и <i>c</i> значения разных знаков.

Докажите, что корни трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) имеют разные знаки.