Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 9-11 класса - сложность 2 с решениями

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>M</i> соответственно так, что  <i>KM || AC</i>.  Отрезки <i>AM</i> и <i>KC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что  <i>AK = AO</i>  и  <i>KM = MC</i>.  Докажите, что  <i>AM = KB</i>.

В кинотеатре семь рядов по 10 мест каждый. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний.

Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.

Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?