Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 7-8 класса - сложность 3-5 с решениями

В однокруговом футбольном турнире играли &nbsp<i>n</i> > 4  команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.

  а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.

  б) При каком наименьшем <i>n</i> могут не найтись пять таких команд?

Выпуклая фигура <i>F</i> обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу <i>F</i>. Обязательно ли <i>F</i> – круг?