Олимпиадные задачи из источника «1998 год» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Решите в натуральных числах уравнение  3^<i>x</i> + 4^<i>y</i> = 5^<i>z</i>.

Про непрерывную функцию<i>f</i>известно, что:<ol> <li><i>f</i> определена на всей числовой прямой; </li> <li><i>f</i> в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график <i>f</i> в каждой точке имеет единственную касательную); </li> <li>график функции <i>f</i> не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна. </li> </ol> Следует ли отсюда, что график <i>f</i> — прямая?

Числа <i>x, y, z</i> удовлетворяют равенству  <i>x + y + z</i> – 2(<i>xy + yz + xz</i>) + 4<i>xyz</i> = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?

В стране Нашии есть военные базы, соединённые дорогами. Набор дорог называется <i>важным</i>, если после закрытия этих дорог найдутся две базы, не соединённые путем. Важный набор называется <i>стратегическим</i>, если он не содержит меньшего важного набора. Докажите, что множество дорог, каждая из которых принадлежит ровно одному из двух различных стратегических наборов, образует важный набор.