Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>ab = cd</i>.  Может ли число  <i>a + b + c + d</i>  оказаться простым?

Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. Для произвольной точки <i>P</i> внутри треугольника рассмотрим точки <i>A'</i> и <i>C'</i> пересечения прямых <i>AP</i> с <i>BC</i> и <i>CP</i> с <i>AB</i>. Найдите геометрическое место точек <i>P</i>, для которых отрезки <i>AA'</i> и <i>CC'</i> равны.

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

Прямоугольник размером 1×<i>k</i>при всяком натуральном<i>k</i>будем называть полоской. При каких натуральных<i>n</i>прямоугольник размером1995×<i>n</i>можно разрезать на попарно различные полоски?

Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.

Докажите, что для этой цели ему

  а) достаточно четырёх взвешиваний и

  б) недостаточно трёх.