Олимпиадные задачи из источника «1993 год» для 11 класса - сложность 4 с решениями
В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число <i>k</i>, затем камни в ящиках делятся на группы по <i>k</i> штук и остаток менее, чем из <i>k</i> штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за пять ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них
а) не более 460 камней;
б) не более 461 камня?
Для каждой пары действительных чисел<i>a</i>и<i>b</i>рассмотрим последовательность чисел<i>p</i><sub>n</sub>= [2{<i>an</i>+<i>b</i>}]. Любые<i>k</i>подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины<i>k</i>будет словом последовательности, заданной некоторыми<i>a</i>и<i>b</i>при<i>k</i>= 4; при<i>k</i>= 5? Примечание: [<i>c</i>] - целая часть, {<i>c</i>} - дробная часть числа <i>c</i>.