Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Доказать, что существует такое натуральное число <i>n</i>, большее 1000, что сумма цифр числа 2^<i>n</i> больше суммы цифр числа 2^<i>n</i>+1.

Может ли число <i>n</i>! оканчиваться цифрами 19760...0?

На сферическом Солнце обнаружено конечное число круглых пятен, каждое из которых занимает меньше половины поверхности Солнца. Эти пятна предполагаются замкнутыми (т.е. граница пятна принадлежит ему) и не пересекаются между собой. Доказать, что на Солнце найдутся две диаметрально противоположные точки, не покрытые пятнами.