Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями

Задача 178667 • Сложность: 2 • 11 класс

По заданной последовательности положительных чисел  <i>q</i><sub>1</sub>,..., <i>q<sub>n</sub></i>, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:

    <i>f</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) = 1,

    <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>x</i>,

      ...

    <i>f</i><sub><i>n</i>+1</sub>(<i>x</i>) = (1 + <i>q<sub>n</sub></i>)<i>xf<sub>n</sub></i>(<i>x</i>) – <i>q<sub>n</sub>f</i><sub><i>n</i>–1</sub>(<i>x</i>).

Докажите, что все вещественные корни <i>n</i>-го мног...

Модуль числа Алгебраические неравенства и системы неравенств Индукция
Задача 178666 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число <i>m</i> получается из числа <i>n</i> вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и <i>m</i>, и <i>n</i> принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)?

Теория групп Теория чисел. Делимость Алгебраические методы Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности

Фильтры

Все
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Все
1
2
3
4
5
Локальная подборка