Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

Дана система из<i>n</i>точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

В <i>n</i> мензурок налиты <i>n</i> разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно ¹/_<i>n</i> от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)

Доказать, что любое чётное число 2<i>n</i>$\ge$0 может быть единственным образом представлено в виде2<i>n</i>= (<i>x</i>+<i>y</i>)²+ 3<i>x</i>+<i>y</i>, где<i>x</i>и<i>y</i>— целые неотрицательные числа.