Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 9-11 класса - сложность 2 с решениями
8 класс, 2 тур
НазадРешить систему
<i>x</i><sub>1</sub> + 2<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + ... + 2<i>x</i><sub>100</sub> = 1,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + ... + 4<i>x</i><sub>100</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 5<i>x</i><sub>3</sub> + ... + 6<i>x</i><sub>100</sub> = 3,
...
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 5<i>x</i><sub>3</sub> + ....
В плоскости расположено <i>n</i> зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе – с третьим и т.д. Наконец, последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?
На окружности даны точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>,..., <i>A</i><sub>16</sub>. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>,..., <i>A</i><sub>16</sub>. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i><sub>1</sub> является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i><sub>1</sub> в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?