Олимпиадные задачи из источника «Чётность-3» для 8 класса - сложность 1-3 с решениями

В вершинах <i>n</i>-угольника стоят числа 1 и –1. На каждой стороне написано произведение чисел на её концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что   a) <i>n</i> чётно;   б) <i>n</i> делится на 4.

По кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз.

  a) Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук?   б) Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

В квадрате 25&times25 стоят числа 1 и –1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам.

Доказать, что сумма этих произведений не равна нулю.

Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

<i>Магический квадрат</i> – это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.