Олимпиадные задачи из источника «1991 год» для 10 класса - сложность 3 с решениями
На прямоугольном экране размером <i>m</i>×<i>n</i>, разбитом на единичные клетки, светятся более (<i>m</i> – 1)(<i>n</i> – 1) клеток. Если в каком-либо квадрате 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.
Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>12</sub> диагонали <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>5</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>6</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>8</sub> и <i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>11</sub> пересекаются в одной точке.