Олимпиадные задачи из источника «1985 год» для 10 класса - сложность 3-5 с решениями

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

За круглым столом сидят 13 богатырей из <i>k</i> городов, где  1 < <i>k</i> < 13.  Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже <i>k</i>. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.

В пространстве расположены 2<i>n</i> точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены  <i>n</i>² + 1  отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют

  а) хотя бы один треугольник;

  б) не менее <i>n</i> треугольников.

За круглым столом сидят <i>n</i> человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?