Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Прямая Симсона» для 10-11 класса - сложность 1-4 с решениями

Точка <i>P</i>движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что при этом прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой <i>P</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой, точка <i>P</i> — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>ACP</i>и точка <i>P</i>лежат на одной окружности.