Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Прямая Симсона» для 10 класса - сложность 5 с решениями

а) Докажите, что проекции точки <i>P</i>описанной окружности четырехугольника <i>ABCD</i>на прямые Симсона треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>BAC</i>лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника). б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного <i>n</i>-угольника как прямую, содержащую проекции точки <i>P</i>на прямые Симсона всех (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин <i>n</i>-угольника.

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>; <i>P</i> — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>делит отрезок <i>PH</i>пополам.