Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Разные задачи» для 10 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 6. Разные задачи
НазадОкружность <i>S</i><sub>1</sub> вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>. Из вершины <i>C</i> к ней проведена касательная (отличная от <i>CA</i>), и в образовавшийся треугольник с вершиной <i>B</i> вписана окружность <i>S</i><sub>2</sub>. Из вершины <i>A</i> к <i>S</i><sub>2</sub> проведена касательная, и в образовавшийся треугольник с вершиной <i>C</i> вписана окружность <i>S</i><sub>3</sub>
и т. д. Докажите, что окружность <i>S</i><sub>7</sub> совпадает с <i>S</i><sub>1</sub>.
Окружность <i>S</i><sub>1</sub> вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>; окружность <i>S</i><sub>2</sub> вписана в угол <i>B</i> и касается <i>S</i><sub>1</sub> (внешним образом); окружность <i>S</i><sub>3</sub> вписана в угол <i>C</i> и касается <i>S</i><sub>2</sub>; окружность <i>S</i><sub>4</sub> вписана в угол <i>A</i> и касается <i>S</i><sub>3</sub> и т. д. Докажите, что окружность <i>S</i><sub>7</sub> совпадает с <i>S</i><sub>1</sub>.
В треугольнике<i>ABC</i>проведены триссектрисы (лучи, делящие углы на три равные части). Ближайшие к стороне<i>BC</i>триссектрисы углов<i>B</i>и<i>C</i>пересекаются в точке<i>A</i><sub>1</sub>; аналогично определим точки<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>(см. рис.). Докажите, что треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>равносторонний.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56893/problem_56893_img_2.gif" border="1"></div>