Пусть в исходном треугольнике  ∠A = 3α,  ∠B = 3β и ∠C = 3γ. Возьмём равносторонний треугольник A₂B₂C₂ и построим на его сторонах как на основаниях равнобедренные треугольники A₂B₂R, B₂C₂P и C₂A₂Q с углами при основаниях  60° – γ,  60° – α,  60° – β  соответственно (см. рис.). Продолжим боковые стороны этих треугольников за точки A₂, B₂ и C₂ и обозначим точку пересечения продолжений сторон RB₂ и QC₂ через A₃, PC₂ и RA₂ – через B₃, QA₂ и PB₂ – через C₃. Проведём через B₂ прямую, параллельную A₂C₂, и обозначим через M и N точки её пересечения с прямыми QA₃ и QC₃. Ясно, что B₂ – середина отрезка NM.

  Вычислим углы треугольников B₂C₃N и B₂A₃M:   ∠C₃B₂N = ∠PB₂M = ∠C₂B₂M – ∠C₂B₂P = α,  ∠B₂NC₃ = 180° – ∠C₂A₂Q = 120° + β,  значит,

∠B₂C₃N = 180° – α – (120° + β) = γ.  Аналогично  ∠A₃B₂M = γ  и  ∠B₂A₃M = α.

  Следовательно, треугольники B₂C₃N и A₃B₂M подобны. Значит,  C₃B₂ : B₂A₃ = C₃N : B₂M,  а так как  B₂M = B₂N  и  ∠C₃B₂A₃ = ∠C₃NB₂,  то

C₃B₂ : B₂A₃ = C₃N : NB₂  и треугольники C₃B₂A₃ и C₃NB₂ подобны, следовательно,   ∠B₂C₃A₃ = γ.  Аналогично  ∠A₂C₃B₃ = γ,  а значит,

∠A₃C₃B₃ = 3γ = ∠C  и C₃B₂, C₃A₂ – триссектрисы угла C₃ треугольника A₃B₃C₃. Аналогичные рассуждения для вершин A₃ и B₃ показывают, что треугольники ABC и A₃B₃C₃ подобны, а точки пересечения триссектрис треугольника A₃B₃C₃ образуют правильный треугольник A₂B₂C₂.

Ответ задачи отсутствует