Олимпиадные задачи из источника «параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек» для 1-10 класса - сложность 5 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Пусть <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>B</i>₁<i>B</i>₂и <i>C</i>₁<i>C</i>₂ — диаметры окружности девяти точек треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂пересекаются в одной точке (или параллельны).

Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что прямая Эйлера треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.