Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Медиана делит площадь пополам» для 9-11 класса - сложность 3-4 с решениями

Внутри выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>существует такая точка <i>O</i>, что площади треугольников <i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCD</i>и <i>ODA</i>равны. Докажите, что одна из диагоналей четырехугольника делит другую пополам.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i>вписан в окружность. Диагонали <i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника <i>ABCDEF</i>равна удвоенной площади треугольника <i>ACE</i>.

На продолжениях сторон <i>DA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁так, что $\overrightarrow{DA_1}$= 2$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{AB_1}$= 2$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC_1}$= 2$\overrightarrow{BC}$и $\overrightarrow{CD_1}$= 2$\overrightarrow{CD}$. Найдите площадь получившегося четырехугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, если известно, что пл...