Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Вокруг теоремы Минковского» для 2-10 класса

Внутри выпуклой фигуры с площадью <i>S</i>и полупериметром <i>p</i>лежит <i>n</i>узлов решетки. Докажите, что<i>n</i>><i>S</i>-<i>p</i>.

Выпуклая фигура$\Phi$имеет площадь<i>S</i>и полупериметр<i>p</i>. Докажите, что если<i>S</i>><i>np</i>для некоторого натурального<i>n</i>, то$\Phi$содержит по крайней мере<i>n</i>целочисленных точек.

Внутри выпуклой фигуры с площадью<i>S</i>и полупериметром<i>p</i>нет точек целочисленной решётки. Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>p</i>.

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус <i>r</i>. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/<i>r</i>. б) Пусть<i>n</i>— натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса$\sqrt{n^2+1}$с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса<i>r</i>. Докажите, что если<i>r</i><${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$, то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.