Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники» для 4-8 класса - сложность 1-2 с решениями

а) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью. б) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

Докажите, что если существует фигура$\Phi{^\prime}$, площадь которой не меньше площади фигуры$\Phi$, а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и$\Phi$, но большей площади.

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры$\Psi$существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.

На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.

На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника.