Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Барицентрические координаты» для 9 класса - сложность 4 с решениями
параграф 5. Барицентрические координаты
НазадНайдите уравнение описанной окружности треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>в барицентрических координатах.
Пусть <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>,<i>X</i> — произвольная точка. На прямых<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>так, что<i>A</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>AM</i>,<i>B</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>BM</i>и <i>C</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>CM</i>. Докажите, что центр масс <i>M</i><sub>1</sub>треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i>...
а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля<i>N</i>. б) Пусть<i>N</i>— точка Нагеля,<i>M</i>— центр масс,<i>I</i>— центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что$\overrightarrow{NM}$= 2$\overrightarrow{MI}$; в частности точка<i>N</i>лежит на прямой<i>MI</i>.