Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Векторы сторон многоугольников» для 9 класса - сложность 4-5 с решениями

В выпуклом пятиугольнике<i>ABCDE</i>сторона<i>BC</i>параллельна диагонали<i>AD</i>,<i>CD</i>||<i>BE</i>,<i>DE</i>||<i>AC</i>и <i>AE</i>||<i>BD</i>. Докажите, что<i>AB</i>||<i>CE</i>.

Даны четыре попарно непараллельных вектора <b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>и <b>d</b>, сумма которых равна нулю. Докажите, что<div align="CENTER"> |<b>a</b>| + |<b>b</b>| + |<b>c</b>| + |<b>d</b>| > |<b>a</b> + <b>b</b>| + |<b>a</b> + <b>c</b>| + |<b>a</b> + <b>d</b>|. </div>

Даны четыре попарно непараллельных вектора, сумма которых равна нулю. Докажите, что из них можно составить: а) невыпуклый четырехугольник; б) самопересекающуюся четырехзвенную ломаную.

Дано <i>n</i>попарно не сонаправленных векторов (<i>n</i>$\ge$3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый<i>n</i>-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.