Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника» для 5-10 класса - сложность 3-5 с решениями

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что для непрямоугольного треугольника <i>tg</i>$\alpha$+<i>tg</i>$\beta$+<i>tg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>/(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²- 8<i>R</i>²).

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\beta$<i>ctg</i>$\gamma$+<i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\gamma$= 1; б) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$-<i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\beta$<i>ctg</i>$\gamma$= 1/(sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$).

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$= (<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4<i>S</i>; б) <i>a</i>²<i>ctg</i>$\alpha$+<i>b</i>²<i>ctg</i>$\beta$+<i>c</i>²<i>ctg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>.