Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Инвариант» для 7 класса - сложность 3-4 с решениями

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Круг разделен на 6 секторов и в них по часовой стрелке расставлены числа: 1, 0, 1, 0, 0, 0. Разрешается прибавить по единице к числам в любых двух соседних секторах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы все числа в секторах были одинаковыми?

В вершинах куба расставлены числа: 7 нулей и одна единица. За один ход разрешается прибавить по единице к числам в концах любого ребра куба. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными? А можно ли добиться того, чтобы все числа делились на 3?

В пробирке находятся марсианские амебы трех типов:<i>A</i>,<i>B</i>и<i>C</i>. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходно амеб типа<i>A</i>было 20 штук, типа<i>B</i>- 21 штука и типа<i>C</i>- 22 штуки?

Есть три печатающих автомата. Первый по карточке с числами<i>a</i>и<i>b</i>выдает карточку с числами<i>a</i> + 1 и<i>b</i> + 1; второй по карточке с четными числами<i>a</i>и<i>b</i>выдает карточку с числами<i>a</i>/2 и<i>b</i>/2; третий автомат по паре карточек с числами<i>a</i>,<i>b</i>и<i>b</i>,<i>c</i>выдает карточку с числами<i>a</i>,<i>c</i>. Все автоматы возвращают заложенные в них карточки. Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (5, 19) получить карточку (1, 1988)?

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1 × 4 и 2 × 2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2 × 2 потерялась. Ее заменили на плитку 1 × 4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.