Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Комбинаторика-2» для 5-7 класса - сложность 2 с решениями

Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре <i>O</i> одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика,имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причём так, чтобы расстояние до точки <i>O</i> увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

На каждом борту лодки должно сидеть по четыре человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причём десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).

б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

План города имеет схему, изображенную на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/30710/problem_30710_img_2.gif"></div>На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх".

Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки <i>A</i> в точку <i>B</i>.

Сколько существует десятизначных чисел, сумма цифр которых равна   а) 2;   б) 3;   в) 4?

Сколько существует шестизначных чисел, у которых по три чётных и нечётных цифры?

а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?

б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?

Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек.

Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трёх юношей?

На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек.

Сколько существует  а) треугольников;  б) четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?

В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырёх человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать

  а) 4 карты разных мастей и достоинств?

  б) 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?