Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Формула включений и исключений» - сложность 1-2 с решениями

<b><em>Слоны, носороги, жирафы.</em></b>Во всех зоопарках, где есть слоны и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках, где есть носороги и нет жирафов, есть слоны. Наконец, во всех зоопарках, где есть слоны и жирафы, есть и носороги. Может ли быть такой зоопарк, в котором есть слоны, но нет ни жирафов, ни носорогов?

Сколькими способами можно расселить 15 гостей в четырёх комнатах, если требуется, чтобы ни одна из комнат не осталась пустой?

В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один не сел на своё место?

Сколько существует целых чисел от 1 до 1000000, которые не являются ни полным квадратом, ни полным кубом, ни четвёртой степенью?

Сколько существует целых чисел от 1 до 33000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, но делятся на 11?

Сколько существует целых чисел от 1 до 16500, которые

  а) не делятся на 5;

  б) не делятся ни на 5, ни на 3;

  в) не делятся ни на 5, ни на 3, ни на 11?

Каждая сторона в треугольнике<i>ABC</i>разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника<i>ABC</i>?

Из 100 студентов университета английский язык знают 28 студентов, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков?

Докажите справедливость равенства<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT">| <i>A</i>₁ $\displaystyle \cup$ <i>A</i>₂ $\displaystyle \cup$...$\displaystyle \cup$ <i>A</i>_n| = | <i>A</i>₁| +...+ | <i>A</i>_n| - | <i>A</i>₁ $\displaystyle \cap$ <i>A</i>₂| -</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT">         - | <i>A</i>₁ $\displaystyle \cap$ <i>A</i>₃| -...-...

Пусть имеется<i>n</i>подмножеств<i>A</i>₁, ...,<i>A</i>_nконечного множества<i>E</i>и$\chi_{j}^{}$(<i>x</i>)  — характеристические функции этих множеств, то есть<div align="CENTER"> $\displaystyle \chi_{j}^{}$(<i>x</i>) = <img width="112" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60434/problem_60434_img_4.gif" alt="\begin{displaymath}\begin{cases} 1,& x\in A_j,\ 0,& x\in E\setminus A_j \end{cases}\end{displaymath}">(<i>j</i> = 1,..., <i>n</i>). </div> Докажите, что при этом$\chi$(<i>x</i>) — характеристическая функция мн...

В классе имеется <i>a</i>₁ учеников, получивших в течение года хотя бы одну двойку, <i>a</i>₂ учеников, получивших не менее двух двоек, ..., <i>a_k</i> учеников, получивших не менее <i>k</i> двоек. Сколько всего двоек в этом классе? (Предполагается, что ни у кого нет более <i>k</i> двоек.)

   а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше 1.    б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше¹/₉.