Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Конечные разности» для 8 класса - сложность 1 с решениями
параграф 1. Конечные разности
Назад<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...
Найдите последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} такую, что$\Delta$<i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>2</sup>. Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы1<sup>2</sup>+ 2<sup>2</sup>+ 3<sup>2</sup>+...+<i>n</i><sup>2</sup>.
Пусть даны последовательности чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} и {<i>b</i><sub>n</sub>}, связанные соотношением$\Delta$<i>b</i><sub>n</sub>=<i>a</i><sub>n</sub>, (<i>n</i>= 1, 2,...). Как связаны частичные суммы<i>S</i><sub>n</sub>последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>}<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>n</sub> = <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> +...+ <i>a</i><sub>n</sub> </div>с последовательностью {<i>b</i><sub>n</sub>}?
Найдите <table> <tr><td align="LEFT">а) $\Delta$<i>n</i><sup>2</sup>; </td> <td align="LEFT">в) $\Delta$<i>n</i><sup>k</sup>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\Delta$<i>n</i>(<i>n</i> - 1); </td> <td align="LEFT">д) $\Delta$<i>C</i><sub>n</sub><sup>k</sup>.</td> </tr> </table>