Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 2-8 класса - сложность 4-5 с решениями

Для любых натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_m</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif">   не равна нулю. Докажите это.

Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму

$$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$

Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

а) В треугольнике <i>ABC</i>, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота <i>BB</i>₁. Докажите, что длины отрезков <i>AB</i>₁и <i>CB</i>₁ — рациональные числа. б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.