Олимпиадные задачи по теме «Отношение порядка» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Пусть  <i>T</i>_α(<i>x, y, z</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x, y, z</i>)  для всех неотрицательных <i>x, y, z</i>. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61423/problem_61423_img_2.gif"> Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, про показатели смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

а) Диаграммы Юнга  (4, 1, 1)  и  (3, 3, 0)  не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6? б) Найдите все несравнимые пары наборов для  <i>s</i> = 7. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">здесь</a>.

Нарисуйте все лестницы из четырёх кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой  (4, 0, 0, 0)  и заканчивая самой пологой  (1, 1, 1, 1).

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61420/problem_61420_img_2.gif">   тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида <div align="CENTER">(<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1,  <i>j</i> + 1, <i>i</i>),     (<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1, <i>j, i</i> + 1),     (<i>k, j, i</i>)   ↔ (<i>k,  j</i> – 1, <i>i</i> + 1). </div>(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">зд...