Олимпиадная задача Верещагина: экскурсии среди 20 школьников, классы 10–11
Задача
В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовало хотя бы четверо школьников этого класса.
Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в 1/17 всех экскурсий.
Решение
Пусть число экскурсий равно n, и каждый школьник сохранил билеты со всех экскурсий, в которых участвовал. Назовём школьника беднягой, если он принял участие менее чем в n/17 экскурсиях. Надорвём все билеты бедняг. Допустим, что в каждой экскурсии хотя бы один из билетов надорван. Тогда надорвано не менее n билетов, вклад каждого школьника меньше n/17 билетов, значит, бедняг больше 17. Выберем из них ровно 17. У выбранных школьников всего меньше 17· n/17 = n билетов, у каждого из остальных трёх – не более, чем по n билетов, поэтому всего билетов меньше 4n. С другой стороны, на каждую из n экскурсий продано не менее четырёх билетов. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь