Интересные наборы и делимость: олимпиадная задача по теории чисел для 10–11 класса

  Пусть S – сумма всех чисел интересного набора, c – наибольшее число, а и b – еще два каких-то числа из набора. Суммы  S – a – c  и  S – b – c  делятся на c, значит, и их разность  b – a  кратна c. Поскольку эта разность по модулю меньше c, она равна нулю. Итак, все числа набора, кроме наибольшего числа c, равны a.

  S – a – a = (p – 1)a + c  делится на a, следовательно,  c = ka.

  S – a – c = pa  делится на c, что равносильно делимости p на k. Итак,  k = 1  или  k = p.

Наборы видов  (pm, m, ..., m)  и  (m, m, ..., m),  где m – натуральное число.