Олимпиадная задача по стереометрии и принципу Дирихле для 11 класса Косухин О. Н.
Задача
На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?
Решение
Так как каждый из пяти прожекторов испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке, то найдутся по крайней мере три прожектора, которые испускают луч под одним и тем же углом. Будем считать, что это угол α.
Повернём эти три прожектора, расположенные в точках A, B и C, так, что испускаемые ими лучи пересекутся в одной точке D. Обозначим через H основание перпендикуляра, опущенного из точки D к плоскости ABC. Треугольники ADH, BDH и CDH равны. Следовательно, точка H является центром описанной окружности треугольника ABC и DH = AH·tg α. Таким образом, точка D определена однозначно. Добавим четвёртый прожектор. По условию все четыре прожектора можно повернуть так, чтобы их лучи пересекались в одной точке, а такой точкой может быть лишь точкаD. Значит, четвёртый прожектор можно повернуть так, чтобы испускаемый им луч проходил через точкуD. Но по тем же соображениям так можно повернуть и пятый прожектор.
Ответ
Обязательно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь