Олимпиадная задача по теории чисел о делимости произведения для 9-10 класса

  Подставив  n = 1,  n = 3  и  n = 4,  получаем, что числа 2²·3·5a, 2·3²·5·7a и 2⁶·3·7a – целые. Значит, a – рациональное число, имеющее несократимую запись ^p/_q, где q является делителем числа  НОД(2²·3·5, 2·3²·5·7, 2⁶·3·7) = 6.  Итак,  a = ^k/₆  при некотором целом k.

  Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чисел  n + 2,  n + 3,  n + 4  делится на 3, а одно из последовательных чисел  n + 2,  n + 3  делится на 2; значит,  n(n + 2)(n + 3)(n + 4)  делится на 6. Поэтому

an(n + 2)(n + 3)(n + 4) = ⅙ kn(n + 2)(n + 3)(n + 4)  – целое число.

a = ^k/₆,  где k – любое целое число.